아래 문자는 네이버 블로그 검색 유입을 위해 위 사진에 있는 글에서 수식을 제외한 부분만 복사하여 붙인 것입니다. 따라서 읽지 않아도 됩니다.
네이버 블로그 수식 편집기가 한글 문서 수식 편집기보다 불편하고 설상가상으로 스마트 에디터 원의 수식 편집기는 글 바로 옆에 수식을 쓰는 것이 불가능해 부득이하게 이런 방식으로 글을 쓰게 됐습니다.12.3 편도함수(Partial Derivatives) 문제에서 특별한 언급이 없는 1계 편도함수가 연속, 2계 편도함수가 연속이라는 조건을 줄 때가 있는데, 이는 모든 1계, 2계 편도함수가 연속이라는 뜻이다. 즉, 가 2변수함수일 때, 1계 편도함수가 연속이면이 모두 연속이고, 2계 편도함수가 연속이면이 모두 연속이다.Problem 12.3.1일 때의 값을 구하시오.sol) 모든 것에 대해서이기 때문에 편도함수의 정의에 의하면이다. ■Problem 12.3.2일 때에 대해서만 포함하는 식으로 나타내시오.sol) 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.■Problem 12.3.2는 의 편도함수를 직접 구해서를 대입하려고 하면 계산이 복잡하다. 하지만 편도함수의 정의를 사용하면 계산량이 줄어드는데 그 이유는 그 때문이다.Problem 12.3.2와 같이 미분적분학으로 계산할 때 이면 편도함수의 정의를 사용하여 계산하는 것이 보다 용이한 경우가 많다.Problem 12.3.3에 대한 값을 구하시오.sol) 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.따라서 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.
■Problem 12.3.3에서 를 얻을 때 실제로는 인 경우와 인 경우로 나누어 풀어야 한다. 사실 극한은 이분모에 포함돼 있기 때문이다. 그러나 편의상 사례를 나누지 않고 계산하는 편이다.를 얻을 때도 같은 이유로 설명을 생략했다.Clairaut’stheorem에 따르면 Problem 12.3.3에서 주어진 함수에 대해 둘 중 적어도 하나는 에서 연속이 아님을 알 수 있으나 실제로는 모든 것에서 불연속임을 증명해보자.의 함수식은 분자, 분모가 모두 다항식이므로 Clairaut’stheorem에 따르면 원점을 제외한 모든 점에서 성립한다. 그리고 Problem 12.3.3의 해동 과정을 그대로 따르면 ‘이고’ 때임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.따라서 다음을 얻는다.그렇기 때문에 모든 것에 극한이 존재하지 않는다. 따라서 모두 불연속적이다.미분적분학에서 1계, 2계 편도함수가 연속인지 여부를 판정하는 문제를 풀 때는 편도함수를 직접 계산하기보다는 Problem 12.3.3과 같이 편도함수의 정의를 사용하는 방향으로 접근하는 것이 편한 경우가 많다.이를 위한 요령을 소개한다. 가 주어졌을 때 가목에서 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때 먼저 편도함수의 정의를 사용하여 를 계산하는 것을 권한다.마찬가지로 가에서 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때에도 편도함수의 정의를 이용하여 을 먼저 계산할 것을 권장한다.이 방법을 사용해서 다음 문제를 풀어보자.Problem 12.3.4에 대해 가에서 연속인지 불연속인지를 판정하시오.sol) 편도함수의 정의에 따르면 다음을 얻는다.따라서, 「~이기 때문에」에서는, 「~에서는」으로 불연속이다. ■Problem 12.3.4에서 편도함수의 정의에 따르면이기 때문이다. 따라서 가에서 연속인지 판정하려면 편도함수를 직접 계산해야 한다. 직접 계산하면 다음을 얻는다.이면이기 때문에 길에서 불연속임을 알 수 있다.Problem 12.3.52 변수 함수는 일 때 다음과 같이 정의되어 있다.이때, 2변수함수를 다음과 같이 정의하자. 의 함수값을 몇 개 구하면이다.다음 물음에 답하시오. 모든 것에 대한 것임을 증명하라.(b) 함수를 로 정의하자. 뒷면임을 증명하시오.sol)의 함수값을 다음과 같이 좌표평면상에 나타내자. 노란색으로 표시된 부분은 을 만족하는 영역이다.
(a)그렇다면 모든 것에 대해서이기 때문에 편도함수의 정의에 의하면임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 때임을 증명하면 충분하다.그림을 보면 때다. 이제 ‘-면서’에 가까워질 때가 어떻게 변하는지 보자.그러므로 을 만족하는 것은 존재한다. 따라서 이때 점은 두 곡선 사이에 존재한다. 따라서, 일 때가 충분히 작으면, 을 만족하고 다음을 얻는다.
따라서 모든 것에 대해서이다. ■(b). 그렇다면 모든 것에 대해서이므로 다음을 얻는다.뒷면이기 때문이다. 따라서 ~를 가정하자.케이스1) 이 경우이기 때문이다. 그리고 이면이기 때문에 다음을 얻는다.
case 2) 이 경우이며 주어진 범위에서 를 충족한다.이므로, case1에 의하면 가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.
그래서 이면이다. ■Problem 12.3.5부터이므로 Problem 12.3.5에서 주어지는 다음 등식의 반례가 된다.
미적분(1) 또는 공학수학(1)에서 편의상 1변수함수를 로 나타내는 것을 배웠다. 편도함수도 비슷하지만 2변수 함수를 편의상 다음과 같이 나타낸다.변수 함수에 대해서도 마찬가지로 편의상 다음과 같이 나타낸다.
